PGCD de polynomes premiers

[Invité Tuturo78]

Salut tout le monde! J'ai une question simple à poser en fait mais j'ai un gros doute...

 

J'ai deux polynomes P et Q de R[X] qui sont premiers entre eux... est-ce que je peux marquer que PGCD(P,Q) = R (ensemble des réels) ?

 

Merci d'avance!

[Invité Tuturo]

Autre question, si vous me le permettez, est-ce que tout réel est divisible par tout polynome de degré > 1 ?

 

Ou est-ce, comme en arithmétique, seulement 0 qui l'est?

[Dylav]

J'ai deux polynômes P et Q de R[X] qui sont premiers entre eux... est-ce que je peux marquer que PGCD(P,Q) = R (ensemble des réels) ?

Eh bien non, à mon sens c'est exactement le contraire : puisqu'ils sont premiers entre eux, c'est que leur seul diviseur commun est la constante 1.

 

J'avoue que je ne comprenais pas bien la notion de PGCD de polynômes, et que ceci m'a éclairé,

Si tu as 2 polynômes P(x) et Q(x) sur le corps des complexes, tu sais que tu peux les décomposer en un produit du genre :

P(x) = A (x - a1) (x - a2) etc..

Q(x) = B (x - b1) (x - b2) etc..

Si tu identifies des racines communes, tu peux les regrouper en un polynôme du genre S(x) = C (x - c1) (x - c2) etc..

P(x) et Q(x) sont des multiples du polynôme S(x). Si tu as mis le maximum de racines communes, ton polynôme S(x) aura le plus haut degré possible et ce sera le PGCD. Ça ressemble fortement à la décomposition d'un nombre en facteurs premiers.

Sauf que le polynôme S(x) n'est défini qu'à un facteur multiplicatif près (je prends pour C la valeur que je veux sauf zéro et ça marche encore).

[Tibonhomme]

Bonsoir Tuturo, Dylav,

 

Entièrement d'accord avec Dylav.

Mais mes études mathématiques universitaires sont déjà bien loin

 

Alors avec un peu de recherche, voici un extrait d'un cours sur les polynômes (Université de Jussieu) :

 

Polynômes premiers entre eux

 

Si est un élément non nul de K, le polynôme constant égal à divise tout polynôme

de . Le cas particulier où il n'y a pas d'autres diviseurs communs est extrêmement intéressant.

 

Définition des polynômes premiers entre eux

 

On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

 

Vocabulaire : si deux polynômes sont premiers entre eux, on dit aussi que l'un est premier avec l'autre.

 

De la même façon, on dit que n polynômes sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur PGCD est égal à 1.

 

Lien direct : http://www.ann.jussieu.fr/~berco/LM125/LM1...3-Polynomes.htm

Voir la seconde partie en particulier.

 

En espérant que cela te donnera quelques indications.

 

Bonne continuation

[Invité Tuturo]

Merci beaucoup à vous deux!

Avez vous une idée à propos de ma seconde question?